Question

6．已知双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+（y-2）²=1相交，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c²=a²+b²求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

解答 解：∵双曲线渐近线为ax±by=0，与圆x²+（y-2）²=1相交，
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＜1，
∴3b²＜a²，
∴c²=a²+b²＜$\frac{4}{3}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∵e＞1
∴1＜e＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．