Question

15．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q．求证：MP=MQ．

Answer 1

分析 过F、T作BC、AD的垂线，垂直足为X、Y、P、Q，则TX和TY为MP和NQ的垂直平分线，推导出M、N、Q、P四点共圆，得到T是圆MNQP的圆心，由此能证明TM=TN．

解答 证明：如图，过F、T作BC、AD的垂线，垂直足为X、Y、P、Q，
如图连结辅助线，则TX和TY为MP和NQ的垂直平分线，
由四点共圆知：
EN=$\frac{1}{2}AB•sinA$，EM=$\frac{1}{2}AB•sinB$，FQ=$\frac{1}{2}CD•sinB$，FQ=$\frac{1}{2}CD•sinB$，FP=$\frac{1}{2}CD•sinA$，
∴$\frac{EN}{EM}=\frac{FP}{FQ}$，又由EN∥FQ，EM∥FP，∴∠NEM=∠PFQ，
∴△NEM∽△PFQ，∴∠ENM=∠FPQ，
∴∠MNQ+∠QPM=∠MNQ+∠ENM+∠FPM=90°+90°=180°，
∴M、N、Q、P四点共圆，
∴T是圆MNQP的圆心，
∴TM=TN．

点评 本题考查线段相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意四点共圆的性质的合理运用．