Question

【题目】石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材（如图1）雕刻制作一件工艺品（如图2），该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径米，高米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分（分别称为圆柱A和圆柱B），要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗），然后将圆柱A切割打磨为一个球体，将圆柱B切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为________立方米.

Answer 1

【答案】

【解析】

要求加工打磨后所得工艺品的体积的最大值，只需上方的球与下方的长方体的体积同时取得最大值即可.

因为圆柱A和圆柱B的体积一样大，所以它们的高一样，即米，

要使工艺品的体积最大，则上方的球与下方的长方体的体积同时取得最大值，

设由圆柱A打磨的球体半径为，则，即，所以，

当时，球的体积取得最大值，此时球体体积，

设下方的长方体的底面边长分别为，，

要使长方体的体积最大，长方体的高与圆柱B的高相等，此时其体积，

因为长方体为圆柱B的内接长方体，即长方体的底面是圆柱底面的内接长方形，

所以长方形的对角线长等于圆柱底面的直径，即，

由基本不等式可得，即，当且仅当时取等号，

所以长方体体积的最大值为，

所以所得工艺品的体积的最大值为(立方米).