Question

18．已知函数f（x）=x²-cx+bln（ax），其中c，b，a∈R，且a≠0．
（1）当c=-3，b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设a=1，若f（x）存在极大值，且对于c的一切可能取值，f（x）的极大值均小于0，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的极大值，得到关于b的不等式，求出b的范围即可．

解答 解：（1）c=-3，b=1时，f（x）=x²+3x+ln（ax），
故$f'（x）=2x+3+\frac{1}{x}=\frac{{（{2x+1}）（{x+1}）}}{x}$，
当a＞0时，x＞0，故f′（x）＞0，
因此f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＜0时，x＜0，由f′（x）＞0，得-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
由f′（x）＜0，得：x＜-1或x＞-$\frac{1}{2}$，
因此f（x）在（-∞，-1）和（-$\frac{1}{2}$，0）单调递减，在（-1，-$\frac{1}{2}$）单调递增；       
（2）由题f′（x）=2x-c+$\frac{b}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-cx+b}{x}$，（x＞0），显然△=c²-8b＞0；
设f′（x）=0的两根为x₁＜x₂，则当x＜x₁或x＞x₂时f′（x）＞0，
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，故f（x）_极大值=f（x₁）=${{x}_{1}}^{2}$-cx₁+blnx₁，且0＜x₁＜x₂，
知c．b∈R⁺，又f′（x₁）=0，故cx₁=2${{x}_{1}}^{2}$+b，且x₁=$\frac{c-\sqrt{{c}^{2}-8b}}{4}$，
从而f（x₁）=$\frac{{c}^{2}-4b-c\sqrt{{c}^{2}-8b}}{-8}$+bln$\frac{c-\sqrt{{c}^{2}-8b}}{4e}$＜0，
令g（c）=f（x₁），则$g'（c）=-\frac{1}{8}[{2c-（{\sqrt{{c^2}-8b}+c•\frac{2c}{{2\sqrt{{c^2}-8b}}}}）}]+b•\frac{{1-\frac{2c}{{2\sqrt{{c^2}-8b}}}}}{{c-\sqrt{{c^2}-8b}}}=\frac{{\sqrt{{c^2}-8b}-c}}{4}＜0$，
故g（c）在$（{\sqrt{8b}，+∞}）$单减，从而$g（c）＜g（{\sqrt{8b}}）=-\frac{b}{2}+bln\frac{{\sqrt{2b}}}{2e}$，
因此-$\frac{b}{2}$+bln$\frac{\sqrt{2b}}{2e}$≤0，解得：0＜b≤2e³．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．