Question

8．已知数列{a_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₃=3，S₃=9
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=log₂$\frac{3}{{a}_{2n+3}}$，且{b_n}为递增数列．若c_n=$\frac{8}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求证：c₁+c₂+…+c_n＜2．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的通项公式，列方程即可求得q的值，求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：b_n=log₂$\frac{3}{{a}_{2n+3}}$=2n，即可求得{c_n}的通项公式，采用“裂项法”即可求得{c_n}前n项和，即可求得c₁+c₂+…+c_n＜2．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q．由S₃=a₁+a₂+a₃=9，a₃=3，
∴$\frac{3}{{q}^{2}}$+$\frac{2}{q}$+3=9，解得q=1或q=-$\frac{1}{2}$，…3
当q=1时，a_n=3，
当q=-$\frac{1}{2}$时，a_n=a₃q^n-3=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-3；
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3或a_n=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-3；…6
（2）证明：由数列{b_n}为递增数列，则a_n=3，不合题意…8
当a_n=a₃q^n-3=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-3时，则b_n=log₂$\frac{3}{{a}_{2n+3}}$=2n，符合题意．
∴c_n=$\frac{8}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
c₁+c₂+…+c_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2，
∴c₁+c₂+…+c_n＜2．…12．

点评 本题考查等比数列的通项公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．