Question

14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC-3ccosB=a，则tan（B-C）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值．

解答 解：∵3bcosC-3ccosB=a，∴3sinBcosC-3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC=2cosBsinC，
∴tanB=2tanC．
∴tan（B-C）=$\frac{tanB-tanC}{1+tanBtanC}$=$\frac{tanC}{1+2ta{n}^{2}C}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanC}+2tanC}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，属于中档题，