Question

已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角．

求证：l⊥α

Answer 1

解析:

证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO．设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，

∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC，

∴ △POA≌△POB≌△POC

∴ PA = PB = PC．取AB中点D．连结OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB，

∵

∴ AB⊥平面POD

∵ PO平面POD．

∴ PO⊥AB．

同理可证  PO⊥BC

∵ ，，

∴ PO⊥α，即l⊥α

若l不经过O时，可经过O作∥l．用上述方法证明⊥α，

∴ l⊥α．

证法二：采用反证法

假设l不和α垂直，则l和α斜交于O．

同证法一，得到PA = PB = PC．

过P作于，则，O是△ABC的外心．因为O也是△ABC的外心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的．

∴ 假设l不和α垂直是不成立的．

∴ l⊥α

若l不经过O点时，过O作∥l，用上述同样的方法可证⊥α，

∴ l⊥α

评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法．