Question

3．（1）在直角坐标系中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$ （其中θ为参数），直线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}t-4}\\{y=\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（其中t为参数）．点F（-4，0），曲线C₁与直线C₂相交于点A、B，求|FA|•|FB|的值． 
（2）在极坐标系中，直线l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2，与以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆相交于P、Q两点，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）化椭圆的参数方程为普通方程，把直线的参数方程代入椭圆方程中，由参数t的几何意义求得|FA|•|FB|的值；
（2）化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，然后利用弦心距、圆的半径及半弦长的关系求解．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}t-4}\\{y=\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$代入上式，得369t²-1440t-2025=0．
∴|FA|•|FB|=$|{t}_{1}{t}_{2}|=\frac{2025}{369}=\frac{225}{41}$；
（2）由ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2，得$ρ（cosθcos\frac{π}{3}+sinθsin\frac{π}{3}）=2$，
即$x+\sqrt{3}y-4=0$．
以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆的直角坐标方程为（x+4）²+y²=25．
圆心（-4，0）到直线$x+\sqrt{3}y-4=0$的距离为d=$\frac{|-4-4|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}=4$，
∴|PQ|=2$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=6$．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数t的几何意义，是基础题．