Question

14．在复平面上，已知正方形OABC（按逆时针方向，O表示原点）中的一个顶点B对应的复数为1+2i，则$\overrightarrow{BC}$所对应的复数z=$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．

Answer 1

分析 由B对应的复数求出B的坐标，得到OB中点的坐标，设出C（x，y），求得$\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）$，结合$\overrightarrow{MC}⊥\overrightarrow{MB}$及|$\overrightarrow{MC}$|列方程组求得C的坐标，进一步得到$\overrightarrow{BC}$的坐标得答案．

解答 解：如图，
∵B对应的复数为1+2i，
∴OB中点为M（$\frac{1}{2}，1$）
设C（x，y），则$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{1}{2}，1$），
$\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）$，
由$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）•（\frac{1}{2}，1）=0$，
得2x+4y-5=0，①
又$|\overrightarrow{MC}|=\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
得$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{5}{4}$，②
联立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由图结合已知可得，C的坐标为（$-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{BC}=（-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，
∴$\overrightarrow{BC}$所对应的复数z=$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．
故答案为：$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了平面向量的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．