Question

9．设函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且$\frac{1}{9}$≤x≤9．
（1）求f（3）的值；
（2）求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，利用对数的运算性质，直接计算f（3）的值；
（2）设t=log₃x，把函数f（x）化为t的二次函数g（t），求g（t）在闭区间上的最值，再求出对应的x值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且$\frac{1}{9}$≤x≤9；
∴f（3）=log₃（27）•log₃9=3×2=6；
（2）令t=log₃x，
函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x）
=（log₃x+2）•（log₃x+1）
=${{（log}_{3}x）}^{2}$+3log₃x+2
=t²+3t+2，
又∵$\frac{1}{9}$≤x≤9，
∴-2≤log₃x≤2，
∴-2≤t≤2；
令g（t）=t²+3t+2=${（t+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，t∈[-2，2]；
当t=-$\frac{3}{2}$时，g（t）_min=-$\frac{1}{4}$，
即log₃x=-$\frac{3}{2}$，∴x=${3}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴f（x）_min=-$\frac{1}{4}$，此时x=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$；
当t=2时，g（t）_max=g（2）=12，
即log₃x=2，x=9，
∴f（x）_max=12，此时x=9．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了换元法以及转化思想的应用问题，是综合性题目．