Question

已知函数f（x）=e^x+ax-2
（1）若a=-1，求函数f（x）在区间[-1，1]的最小值；
（2）若a∈R讨论函数f（x）在（0，+∞）的单调性；
（3）若对于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，都有x₂[f（x₁）+a]＜x₁[f（x₂）+a]成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求f（x），f′（x），根据导数的符号判断函数f（x）在[-1，1]的单调性，从而求出f（x）的最小值．
（2）先求f′（x），讨论a，判断导数符号，从而得出函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．
（3）将不等式变形为：

&

;f(x1)+ax1＜

f(x2)+a

x2

，所以令g（x）=

f(x)+a

x

，从而得到g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以g′（x）＞0，所以；xe^x-e^x+2-a＞0xe^x-e^x+2-a＞0，为了求a的范围，所以需要求；xe^x-e^xxe^x-e^x的范围，可通过求导数，根据单调性来求它的范围，求得范围是；xe^x-e^x＞-1xe^x-e^x＞-1，所以2-a≥1，所以求得a的范围是（-∞，1]．

解答： 解：（1）f（x）=e^x-x-2，f′（x）=e^x-1；
∴-1≤x＜0时，f′（x）＜0；0＜x≤1时，f′（x）＞0；
∴x=0时f（x）取最小值f（0）=-1．
∴函数f（x）在区间[-1，1]的最小值是-1．
（2）f′（x）=e^x+a；
∴①当a≥-1时，∵x＞0，∴e^x＞1，∴e^x+a＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜-1时，0＜x＜ln（-a）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，ln（-a））上单调递减；
x＞ln（-a）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在[ln（-a），+∞）上单调递增．
（3）由已知条件得：

&

;f(x1)+ax1＜

f(x2)+a

x2

；
令g（x）=

f(x)+

&

;ax=

ex+ax-2+a

x

，则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数；
∴f′（x）=

xex-ex+2-a

x2

≥0；
∴xe^x-e^x+2-a≥0；
令h（x）=xe^x-e^x，∴h′（x）=xe^x＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数；
∴h（x）＞h（0）=-1；
∴2-a≥1；
∴a≤1．
∴a的取值范围是（-∞，1]．

点评：考查函数的导数符号和函数单调性的关系，根据函数单调性求最小值，而第三问由原不等式得到：

&

;f(x1)+ax1＜

f(x2)+a

x2

是求解本问的关键．