Question

已知函数f（x）=x^m-

4

x

的图象过点（2，0）．
（1）求m的值；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）将点（2，0）带入函数f（x）的解析式即可求出m=1；
（2）根据奇偶函数的定义，容易证明f（x）的奇偶性；
（3）求y′，根据导数符号即可判断函数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）∵f（2）=0，∴2^m-2=0，∴m=1．
（2）因为f(x)=x-

4

x

，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间．
又f(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-f(x)；
所以f（x）是奇函数．
（3）∵f′（x）=1+

4

x2

＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．

点评：考查函数图象上的点和函数解析式的关系，奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法．