Question

已知三次函数f（x）=x³+bx²+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=9x+m-1，若函数y=f（x）-g（x）在区间[-2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据已知条件即可建立关于b，c，d的三个方程，解方程即可求出b，c，d，从而求出f（x）的解析式．
（2）由已知条件可得到方程f（x）-g（x）=0在区间[-2，1]上有两个不同的解，带入f（x），g（x）后得到：方程x³-3x²-9x-m+1=0在区间[-2，1]上有两个不同解．因为求m的取值范围，所以把方程变成：m=x³-3x²-9x+1，求函数x³-3x²-9x+1在区间[-2，1]上的取值范围，要使方程有两个不同的解，从而求出m应满足的范围．这样便求出了m的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，由已知条件得：

f(3)=27+9b+3c+d=0 f′(0)=c=0 f(0)=d=0

，解得b=-3，c=d=0；
∴f（x）=x³-3x²
（2）由已知条件得：f（x）-g（x）=0在[-2，1]上有两个不同的解；
即x³-3x²-9x-m+1=0在区间[-2，1]有两个不同的解；
即m=x³-3x²-9x+1在[-2，1]上有两个不同解．
令h（x）=x³-3x²-9x+1，h′（x）=3x²-6x-9，x∈[-2，1]；
解3x²-6x-9＞0得：-2≤x＜-1；解3x²-6x-9＜0得：-1＜x≤1；
∴h（x）_max=h（-1）=6，又f（-2）=-1，f（1）=-10，∴h（x）_min=-10；
m=h（x）在区间[-2，1]上有两个不同的解，∴-10≤m＜6．
∴实数m的取值范围是[-10，6）．

点评：考查函数在切点处的导数与切线斜率的关系，对切线过切点的条件的运用，函数零点和方程实数解的关系，根据函数单调性求函数的最值．