Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2（cos²x-1）
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间
（2）当x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值以及取得最大值时的x取值集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由此可得函数的最小正周期，再根据正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．
（3）根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值以及取得最大值时的x取值集合．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=（sinx+cosx）²+2（cos²x-1）=1+sin2x+cos2x-1=

2

sin（2x+

π

4

），
故函数的最小正周期为

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，故函数的增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函数的减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
（3）当x∈[0，

π

2

]，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，故当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，函数f（x）取得最大值为

2

，
故函数的最大值为

2

，取得最大值时的x取值集合为{

π

8

}．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．