Question

已知函数f（x）=x²-2x+k，是否存在实数k，当a+b≤2时，使得函数f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得a＜1，当b＜1时，

a2-2a+k=b b2-2b+k=a

，两式相减可得：a+b=1，由根的分布规律可知：1＜k＜

5

4

；当b≥1时，

a=k-1＜1 b=a2-2a+k≥1，且b≤2-a

，得0≤k≤1．由此能求出k的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=（x-1）²+k-1，
又a+b≤2且a＜b，∴a＜1；
当（ⅰ） b＜1时，f（x）在区间[a，b]上递减，
进而有：

a2-2a+k=b b2-2b+k=a

，
两式相减可得：a+b=1，
于是a，b可看成是方程x²-x+k-1=0两根，
由根的分布规律可知：1＜k＜

5

4

；
当（ⅱ）b≥1时，则根据题意有：

a=k-1＜1 b=a2-2a+k≥1，且b≤2-a

，
∴-1≤a≤0
进而：0≤k≤1．
综上，得到：0≤k＜

5

4

．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想、根的分布规律、二次函数的性质的合理运用．