Question

已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=

1+x

a(1-x)

[xf（x）-1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在极值点，可得

0＜m＜1 m+ 1 3 ＞1

，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）分类讨论，构造函数h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，则h′（x）=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

，设t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=16a（a-1）．利用对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜-2，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意k=

1+lnx

x

，x＞0
所以f′（x）=-

lnx

x2

   …（2分）
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
则f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在极值，
所以

0＜m＜1 m+ 1 3 ＞1

，得

2

3

＜m＜1
即实数m的取值范围是（

2

3

，1）．    …（4分）
（Ⅱ）由题可知，a＞0，因为x∈（0，1），所以

1+x

1-x

lnx＜0．
当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．
当a＞0时，由g（x）＜-2，可得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0．…（6分）
设h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，则h′（x）=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

设t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=16a（a-1）．…（8分）
（1）若0＜a≤1，则△≤0，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）内单调递增，
又h（1）=0，所以h（x）＜h（1）=0．
所以0＜a≤1符合条件．…（10分）
（2）若a＞1，则△＞0，t（0）=1＞0，t（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x₀∈（0，1），使得t（x₀）=0，h（x）在（x₀，1）内单调递减，
又h（1）=0，所以当x∈（x₀，1）时，h（x）＞0，不合要求．
综合（1）（2）可得0＜a≤1．…（12分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．