Question

数列{a_n}是首项为1000，公比为

1

10

的等比数列，数列{b_n}满足b_k=

1

k

（（lga₁+lga₂+…lga_k）k∈N^*），
（1）求数列{b_n}的前n项和的最大值；
（2）求数列{|b_n|}的前n项和S_n′．
（3）若λn≤S_n′对任意n∈N^*都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：综合题,函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）易求an=104-n，于是得lga_n=4-n，即数列{lga_n}是首项为3，公差为-1的等差数列，依题意，即可求得b_n=

7-n

2

，从而可求得数列{b_n}的前n项和的最大值；
（2）由（1）当n≤7时，b_n≥0，当n＞7时，b_n＜0，于是分段讨论即可求得数列{|b_n|}的前n项和S_n′．
（3）只要λn≤

1

4

n2-

13

4

n+21

(n＞7)

恒成立，即λ≤

1

4

n+

21

n

-

13

4

，n∈(7，2

21

)，恒成立即可．通过研究其单调性可求得f(n)最小=

13

10

，从而可得答案．

解答： 解：（1）由题意：an=104-n，∴lga_n=4-n，
∴数列{lga_n}是首项为3，公差为-1的等差数列，
∴lga1+lga2+…+lgak=3k-

k(k-1)

2

，∴bn=

1

n

[3n-

n(n-1)

2

]=

7-n

2

，
由

bn≥0 bn+1≤0

，得6≤n≤7，
∴数列{b_n}的前n项和的最大值为S6=S7=

21

2

…（4分）
（2）由（1）当n≤7时，b_n≥0，当n＞7时，b_n＜0，
∴当n≤7时，Sn′=b1+b2+…+bn=(

3+ 7-n 2

2

)n=-

1

4

n2+

13

4

n
当n＞7时，Sn′=b1+b2+…+b7-b8-b9-…-bn=2S7-(b1+b2+…+bn)=

1

4

n2-

13

4

n+21
∴Sn′=

- 1 4 n2+ 13 4 n(n≤7) 1 4 n2- 13 4 n+21(n＞7)

…（8分）
（3）只要λn≤

1

4

n2-

13

4

n+21

(n＞7)

恒成立，即λ≤

1

4

n+

21

n

-

13

4

（n＞7）恒成立，
又n∈(7，2

21

)时f(n)=

1

4

n+

21

n

-

13

4

递减，n∈(2

21

，+∞)时f(n)=

1

4

n+

21

n

-

13

4

递增，
9＜2

21

＜10，f(9)=

4

3

，f(10)=

13

10

，
∴f(n)最小=

13

10

，∴λ≤

13

10

…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定及求和公式的应用，突出考查数列的函数性质，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于难题．