Question

已知函数f（x）的定义域为R，满足f（

1

2

）=2，且对于任意实数m，n有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，当x＞-

1

2

时，f（x）＞0．
（1）求f（-

1

2

）的值；
（2）求证f（x）在定义域R上是单调递增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由于对于任意实数m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，令m=n=0，求出f（0）；再令m=

1

2

，n=-

1

2

，可求出f（-

1

2

）．
（2）当x＞-

1

2

时，f（x）＞0．即x+

1

2

＞0，证得f（x+

1

2

）＞1，即有x＞0时，f（x）＞1．设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，由条件即证得f（x₂）＞f（x₁）．再由单调性定义，即可得证．

解答： （1）解：由于对于任意实数m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
令m=n=0，则f（0）=f（0）+f（0）-1，
即f（0）=1，
再令m=

1

2

，n=-

1

2

，则f（0）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）-1=1，
由于f（

1

2

）=2，则f（-

1

2

）=0；
（2）证明：当x＞-

1

2

时，f（x）＞0．即x+

1

2

＞0，
由于对于任意实数m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
则f（x+

1

2

）=f（x）+f（

1

2

）-1=f（x）+1＞1，
即有x＞0时，f（x）＞1．
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，
则由f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1，得
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）．
故f（x）在定义域R上是单调递增函数．

点评：本题主要考查抽象函数及运用，解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性，注意运用定义证明，属于中档题．