Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数f（x）图象上相邻两对称轴间的距离为

π

2

（1）求f（x）的解析式及单减区间；
（2）△ABC的三内角为A、B、C，若sin²A=sin²B+sin²C-sinBsinC，求f（A）．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦函数的单调性,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）函数f（x）解析式变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据函数为偶函数，得到f（0）=±2，确定出φ的值，利用函数f（x）图象上相邻两对称轴间的距离为

π

2

得到周期为π，求出ω的值，确定出f（x）解析式，即可求出其单调减区间；
（2）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理列出关系式，求出cosA的值，确定出A的度数，代入f（x）解析式即可求出f（A）的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）为偶函数，
∴f（0）=2sin（φ-

π

6

）=±2，即sin（φ-

π

6

）=±1，
∴φ-

π

6

=kπ+

π

2

，即φ=kπ+

2π

3

，
∵φ∈（0，π），
∴φ=

2π

3

，
∵函数f（x）图象上相邻两对称轴间的距离为

π

2

，
∴f（x）的周期T=π，即ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
则其减区间为（kπ，kπ+

π

2

）（k∈Z）；
（2）由sin²A=sin²B+sin²C-sinBsinC，利用正弦定理化简得：a²=b²+c²-bc，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bc，即cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，
则f（A）=2cos

2π

3

=-1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，偶函数的性质，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键．