Question

已知椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1．
（1）直线l：y=x+m与椭圆E有两个公共点，求实数m的取值范围．
（2）以椭圆E的焦点F₁、F₂为焦点，经过直线l′：x+y=9上一点P作椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线l与椭圆E有两个公共点的条件是：方程组

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

有两组不同解，消去y，得3x²+4mx+2m²-8=0，利用判别式大于0，即可求实数m的取值范围．
（2）作点F₁（-2，0）关于l′的对称点F₁′（9，11）．设P是l′与椭圆的公共点，则2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF′₁|+|PF₂|≥|F′₁F₂|=

170

，即可求当C的长轴最短时，C的方程．

解答： 解：（1）直线l与椭圆E有两个公共点的条件是：
方程组

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

有两组不同解，
消去y，得3x²+4mx+2m²-8=0．
∴△=16m²-12（2m²-8）＞0，
-2

3

＜m＜2

3

．
∴实数m的取值范围是（-2

3

，2

3

）．
（2）依题意，F₁（-2，0）、F₂（2，0）．
作点F₁（-2，0）关于l′的对称点F₁′（9，11）．
设P是l′与椭圆的公共点，则2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF′₁|+|PF₂|≥|F′₁F₂|=

170

．
∴（2a）_min=

170

，
此时，a²=

170

4

=

85

2

，b²=a²-c²=

77

2

．
∴长轴最短的椭圆方程是

x2

85 2

+

y2

77 2

=1．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．