Question

已知数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为

1

2n+1

．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

n- 1 2

an

，试比较c_n+1与c_n（n∈N^*）的大小关系；
（Ⅲ）设函数f（x）=-x²+4x-

n- 1 2

an

，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）≤0成立？

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），再写一式，两式相减，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用作差法，即可得到c_n+1与c_n的大小；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列 {c_n}是单调递增数列，c₁是其最小项．假设存在最大实数，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）≤0恒成立，只需-x²+4x≤c₁=

1

6

，即可求出最大的实数λ．

解答： 解：（Ⅰ）a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1），
两式相减，得a_n=4n-1（n≥2）．
又 a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1；
（Ⅱ）∵c_n=

n- 1 2

an

=

1

4

-

1

4(4n-1)

，c_n+1=

1

4

-

1

4(4n+3)

，
∴c_n+1-c_n=

1

4(4n-1)

-

1

4(4n+3)

＞0，即c_n+1＞c_n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列 {c_n}是单调递增数列，c₁=

1

6

是其最小项，
假设存在最大实数，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）=-x²+4x-

n- 1 2

an

≤0恒成立，
则只需-x²+4x≤c₁=

1

6

，即x²-4x+

1

6

≥0，解之得x≥2+

138

6

或x≤2-

138

6

．
于是，可取λ=2-

138

6

．

点评：本题考查数列的通项，考查大小比较，考查解不等式，确定数列的通项与单调性是关键．