Question

已知函数f（x）=x²+4x．
（1）当a＜-2时，函数f（x）在区间[a，a+4]上的最大值与最小值的差为9，求a的值；
（2）若函数f（x）满足：对于任意在区间D上的实数x都有f（x+1）＞mf（x），则称函数f（x）为区间D上周期为1的m倍递增函数．已知函数f（x）为区间[0，4]上是周期为1的m倍递增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a+4≤-2，a＜-6时，f（a）-f（a+4）=a²+4a-（a+4）²-4a=9，解得a=-

25

8

，不成立；当a＜-2＜a+4时，f（a）-f（-2）=9或f（a+4）-f（-2）=9，由此能求出a的值．
（2）由题意知f（x+1）＞mf（x），从而m＜

(x+1)2+4(x+1)

x2+4x

，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+4x是开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，
∴f（x）的增区间为[-2，+∞），减区间为（-∞，-2]，
∵a＜-2，函数f（x）在区间[a，a+4]上的最大值与最小值的差为9，
∴当a+4≤-2，a＜-6时，
f（a）-f（a+4）=a²+4a-（a+4）²-4a=9，
解得a=-

25

8

，不成立；
当a＜-2＜a+4时，f（a）-f（-2）=9或f（a+4）-f（-2）=9，
由f（a）-f（-2）=9，得a²+4a-5=0，
解得a=-5，或a=1（舍）．
由f（a+4）-f（-2）=9，得a²+12a+27=0，
解得a=-3，或a=-9（舍）．
综上：a=-3或a=-5．
（2）∵函数f（x）为区间[0，4]上是周期为1的m倍递增函数，
∴f（x+1）＞mf（x），
∴（x+1）²+4（x+1）＞m[x²+4x]，
∵0≤x≤4，∴m＜

(x+1)2+4(x+1)

x2+4x

，
解得：m＜

45

32

．

点评：本题考查实数值和实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数的性质的合理运用．