Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx+

1

2

cos（π+2x）．
（Ⅰ）求函数的周期；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ） 利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=sin（2x-

π

6

），由此可得函数的周期．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数g（x）=-cos

1

2

x，函数g（x）的减区间，即函数y=cos

1

2

x的增区间．令2kπ-π≤

1

2

x≤2kπ，k∈z，求得x的范围，可得g（x）的单调递减区间．

解答： 解：（Ⅰ） 因为 函数f（x）=

3

sinxcosx+

1

2

cos（π+2x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
故函数的周期为

2π

2

=π．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，可得函数y=sin[2（x-

π

6

）-

π

6

]=-sin（

π

2

-2x）=-cos2x的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=-cos

1

2

x 的图象，
函数g（x）的减区间，即函数y=cos

1

2

x的增区间．
令2kπ-π≤

1

2

x≤2kπ，k∈z，求得4kπ-2π≤x≤4kπ，k∈z，
所以g（x）的单调递减区间为[4kπ-2π，4kπ]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．