Question

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．
（1）求t的取值范围；
（2）若a+c=2b²，求t的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）根据公式求出函数的导数，根据导数求出函数的极值，根据极值判断根的个数，判断各个根是否大于零
（2）根据a，b，c是方程x³-3x²-9x+t+3=0的三个根，可得x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+ac+bc）x-abc，从而可得

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc

，且a+c=2b，由此可求t的值．

解答： 解：（1）f'（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有3个极值点，∴x³-3x²-9x+t+3=0有3个根a，b，c．
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，
g'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减．
∵g（x）有三个零点
∴g（-1）=t+8＞0，g（3）=t-24＜0
解得-8＜t＜24．
（2）∵a，b，c是f（x）的三个极值点，
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，
∴

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc

，
∴b=1或-

3

2

(舍∵b∈(-1，3))，
∴

a=1-2 3 b=1 c=1+2 3

∴t=8

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的零点，解题的关键是确定a，b，c是方程x³-3x²-9x+t+3=0的三个根