Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用等比数列的通项公式公式可得公比q，再利用指数幂的运算性质可得m+n=6，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₇=a₆+2a₅，∴a5q2=a5q+2a5a5q2=a5q+a5，
化为q²-q-2=0，
解得q=2．
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，
∴

a 2 1 qm+n-2

=4a₁，
化为2^m+n-2=2⁴，
∴m+n=6．
则

1

m

+

1

n

=

1

6

(m+n)(

1

m

+

1

n

)=

1

6

(2+

n

m

+

m

n

)≥

1

6

(2+2

n m • m n

)=

2

3

，当且仅当m=n=3时取等号．
∴

1

m

+

1

n

的最小值为

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式公式、指数幂的运算性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．