Question

已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

，（θ为参数），定点A（0，-3），F₁，F₂是圆锥曲线C的左，右焦点．
（1）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F₁，且平行于直线AF₂的直线l的极坐标方程；
（2）在（1）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求|EF|．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先把曲线的参数方程转化成直角坐标方程，进一步确定焦点的坐标，最后利用点斜式求出直线的方程，最后转化成极坐标方程．
（2）根据（1）的结论建立方程组，整理成关于x的一元二次方程，再利用根和系数的关系和弦长公式求出结果．

解答： 解：（1）圆锥曲线C的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

，（θ为参数），整理成直角坐标方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
所以：F₁（-1，0），F₂（1，0），
已知定点A（0，-3），则：kAF2=3
所以：过F₁且平行于AF₂的直线l的方程为：y=3x+3
转化成极坐标方程为：ρsinθ-3ρcosθ-3=0．
（2）直线l和曲线交于E、F，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
所以：

x2 4 + y2 3 =1 y=3x+3

整理得：13x²+24x+8=0
则：x1+x2=-

24

13

，x1x2=

8

13

所以：|EF|=

1+9

|x1-x2|=

8 85

13

点评：本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，利用点斜式求直线的方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与曲线的位置关系，弦长公式的应用，根和系数关系的应用．属于基础题型．