Question

已知点O（0，0），M（1，0），双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上有一点P，满足|

OP

|=6，

OM

•

OP

=3．
（1）求渐近线方程；
（2）若双曲线C过点（2，3），求双曲线方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出双曲线的一条渐近线上点P，再由两点的距离公式和向量的数量积的坐标表示，即可a，b的关系，进而得到渐近线方程；
（2）将点（2，3）代入双曲线方程，解关于a，b的方程组，即可得到所求双曲线的方程．

解答： 解：（1）设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线为y=

b

a

x，
则可设P（m，

b

a

m），
由|

OP

|=6，

OM

•

OP

=3，
可得m²+

b2

a2

m²=36，且m×1+

b

a

m×0=3，
解得m=3，b=

3

a，
则双曲线的渐近线方程为y=±

3

x；
（2）由双曲线C过点（2，3），
则

4

a2

-

9

b2

=1，
又b=

3

a，
解得a=1，b=

3

．
则双曲线的方程为x²-

y2

3

=1．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的求法，运用向量的数量积的坐标表示是解题的关键，属于基础题．