Question

在△ABC中，tanA=

2

5

，tanB=

3

7

，且最长边为

2

，求
（1）∠C的大小；
（2）最短的边长．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由内角和定理和诱导公式得：tanC=-tan（A+B），利用两角和的正弦公式求出tanC，根据内角的范围求出C的值；
（2）由正切值和C的大小确定出最长边和最短边，由同角的三角函数的基本关系求出sinA，由正弦定理求出最短边．

解答： 解：（1）由A+B+C=π得，C=π-（A+B），且tanA=

2

5

，tanB=

3

7

，
所以tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

2 5 + 3 7

1- 2 5 × 3 7

=-

14+15

35-6

=-1，
因为0＜C＜π，所以C=

3π

4

；
（2）因为C=

3π

4

，且

3

7

＞

2

5

，所以A是最小角，则c是最长边、a是最短边，
由tanA=

2

5

得，

sinA sinB = 2 5 sin2A+sin2B=1

，解得sinA=

2 29

29

，
由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

，则a=

2 × 2 29 29

3 2

=

4 174

87

，
所以最短的边长是

4 174

87

．

点评：本题考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及正弦定理，注意三角函数值的符号，属于中档题．