【题目】设函数).
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)设,若对任意的
,存在
使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
或
.
【解析】试题分析:(1)本问考查导数几何意义,当时,
,则
,又
,所以可以求出切线方程;(2)本问考查“任意”和“存在”问题,主要是将问题等价转化,“对任意的
,存在
使得
成立”等价于“在区间
上,
的最大值大于或等于
的最大值”,根据二次函数易求
在
上的最大值,求
在
上最大值时,需要分区间对
的根
进行讨论,通过单调性求出
在
上最大值,进而解不等式求
的取值范围.
试题解析:(1)当时,因为
,所以
,又因为
,所以曲线
在点
处的切线方程为
,即
.
(2)“对任意的,存在
使得
成立”等价于“在区间
上,
的最大值大于或等于
的最大值”.因为
,所以
在
上的最大值为
.
,令
,得
或
.
①当,即
时,
在
上恒成立,
在
上为单调递增函数,
的最大值大为
,由
,得
;
②当,即
时,当
时,
为单调递减函数,当
时,
为单调递增函数,所以
的最大值大为
或
.由
,得
;由
,得
,又因为
,所以
;
③当,即
时,
在
上恒成立,
在
上为单调递减函数,所以
的最大值大为
,由
,得
,又因为
,所以
,
综上所述,实数的取值范围是
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】运行如图的程序,如果输入的m,n的值分别是24和15,记录输出的i和m的值.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(i﹣4,m),圆C的圆心在直线l:y=2x﹣4上.
(1)若圆C的半径为1,且圆心C在直线y=x﹣1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使∠OMA=90°,求圆C的半径r的最小值.
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【题目】已知向量 =(cos
x,sin
x),
=(cos
x,﹣sin
x),且x∈[0,
].求:
(1)及
;
(2)若f(x)= ﹣2λ
的最小值是﹣
,求λ的值.
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【题目】设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230 , 那么a3a6a9…a30等于( )
A.210
B.220
C.216
D.215
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn=2n2 , {bn}为等比数列,且a1=b1 , b2(a2﹣a1)=b1 .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
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【题目】如图1,在正方形中,点
分别是
的中点,
与
交于点
,点
分别在线段
上,且
.将
分别沿
折起,使点
重合于点
,如图2所示.
(1)求证:平面
;
(2)若正方形的边长为4,求三棱锥
的内切球的半径.
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