Question

【题目】已知向量 =（cos x，sin x）， =（cos x，﹣sin x），且x∈[0， ]．求：
（1）及 ；
（2）若f（x）= ﹣2λ 的最小值是﹣ ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解： =cos2x

=

∵x∈[0， ]，∴cosx＞0，∴ =2cosx．

（2）

解：f（x）=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx，设t=cosx，

则∵x∈[0， ]，∴t∈[0，1]

即y=f（x）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2．

①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值﹣1，这与已知矛盾

②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值﹣1﹣2λ2，

由已知得 ，解得λ=

③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1﹣4λ．

由已知得 ，解得λ= ，这与λ＞1相矛盾．

综上λ= 为所求．

【解析】（1）利用向量的数量积公式，结合差角的三角函数，角的范围，即可得出结论；（2）f（x）=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx，设t=cosx，可得y=f（x）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2 ， 分类讨论，利用最小值是﹣ ，即可求λ的值．