Question

已知点P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，P₁为直线l与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1

n|P1Pn|

(n≥2)，求

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)的值；
（3）若d_n=2d_n-1+a_n-1（n≥2），且d₁=1，求证：数列{d_n+n}为等比数列，并求{d_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的极限,数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于点P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，P₁为直线l与y轴的交点，可得b_n=2a_n+1，a₁=0，利用等差数列的通项公式可得a_n，即可得出b_n．
（2）由（1）可得a_n-a₁=n-1，b_n-b₁=2n-1-1=2n-2，利用两点之间的距离公式可得|P₁P_n|=

(an-a1)2+(bn-b1)2

=

5

(n-1)（n≥2）．因此c_n=

1

n|P1Pn|

=

1

5 n•(n-1)

=

1

5

(

1

n-1

-

1

n

)，利用“裂项求和”及其极限的运算法则即可得出．
（3）n≥2，d_n=2d_n-1+a_n-1，=2d_n-1+n-2，变形为d_n+n=2（d_n-1+n-1），即可证明．

解答： （1）解：∵点P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，P₁为直线l与y轴的交点，
∴b_n=2a_n+1，a₁=0，
∵等差数列{a_n}的公差为1（n∈N^*），
∴a_n=0+（n-1）=n-1．
b_n=2（n-1）+1=2n-1．
（2）解：由（1）可得a_n-a₁=n-1，b_n-b₁=2n-1-1=2n-2，
∴|P₁P_n|=

(an-a1)2+(bn-b1)2

=

(n-1)2+4(n-1)2

=

5

(n-1)（n≥2）．
∴c_n=

1

n|P1Pn|

=

1

5 n•(n-1)

=

1

5

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴c₂+c₃+…+c_n=

1

5

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=

1

5

(1-

1

n

)，
∴

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)=

lim

n→∞

1

5

(1-

1

n

)=

5

5

；
（3）证明：n≥2，d_n=2d_n-1+a_n-1，=2d_n-1+n-2，
∴d_n+n=2（d_n-1+n-1），
∴数列{d_n+n}为等比数列，
首项为d₁+1=2，公比为2，
∴dn+n=2n，
∴dn=2n-n．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、两点之间的距离公式、极限的运算性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．