Question

10．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=$\sqrt{6}$，DE=3，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求多面体EF-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取BD的中点O，连接OE，OG，推导出四边形OGFE是平行四边形，从而FG∥OE，由此能证明FG∥平面BED．
（2）取AB中点H，连结DM，推导出BD⊥AD，BD⊥AE，从而BD⊥平面AED，由此能证明平面BED⊥平面AED．
（3）连结HO，并延长交CD于I，连FH，FI．推导出多面体ADE-HIF为三棱柱，四边形AEFH为平行四边形，由此能求出多面体EF-ABCD的体积．

解答 （本题满分12分）
证明：（1）如图，取BD的中点O，连接OE，OG，
在△BCD中，∵G是BC的中点，
∴OG∥DC，且OG=$\frac{1}{2}$DC=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF=OG，
∴四边形OGFE是平行四边形，∴FG∥OE．
又FG?平面BED，OE?平面BED，∴FG∥平面BED．
（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，取AB中点H，连结DM，
∵AD=1，AB=2，∴AD=AH，又∠BAD=60°，∴DH=AH=BH，
∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，
又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥AE，
∵AE∩AD=A，∴BD⊥平面AED．
又∵BD?平面BED，∴平面BED⊥平面AED．
解：（3）连结HO，并延长交CD于I，连FH，FI．
∵H，O分别为AB，BD的中点，∴OH∥AD，∴I是CD中点，
∵EF∥AB，AB=2，EF=1，
∴多面体ADE-HIF为三棱柱，体积为${S}_{△ADE}•OD=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
且四边形AEFH为平行四边形，∴FH∥AE，FH=AE，
∵AE⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，
四棱锥F-BCIH的体积为$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AE$=$\frac{1}{6}×1×\sqrt{3}×\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴多面体EF-ABCD的体积为$\frac{3\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．