Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x≤3}\\{2-lo{g}_{3}x，x＞3}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（$\frac{19}{3}$，11）（用区间表示）

Answer 1

分析 先画出图象，再根据条件即可求出其范围．不妨设a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得，-log₃a=log₃b=2-log₃c，再构造函数g（x）=x+$\frac{10}{x}$，由此可确定a+b+c的取值范围．

解答 解：作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x≤3}\\{2-lo{g}_{3}x，x＞3}\end{array}\right.$，的图象，
不妨设a＜b＜c，a∈（$\frac{1}{3}$，1），b∈（1，3），
c∈（3，9），
由题意可知，-log₃a=log₃b=2-log₃c
故而$\left\{\begin{array}{l}{ab=1}\\{bc=9}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{b}}\\{c=\frac{9}{b}}\end{array}\right.$，
∴a+b+c=b+$\frac{10}{b}$，b∈（1，3）
令g（x）=x+$\frac{10}{x}$，x∈（1，3），则g（x）在（1，3）递减，g（1）=11，g（3）=$\frac{19}{3}$，
∴g（x）∈（$\frac{19}{3}$，11），
∴a+b+c的取值范围为（$\frac{19}{3}$，11），
故答案为：（$\frac{19}{3}$，11）

点评 本题考查分段函数，考查绝对值函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．