Question

定义在R上的函数y=f（x），满足f（1-x）=f（x），（x-

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）f′（x）＞0，若x₁＜x₂且x₁+x₂＞1，则有（　　）

A．f（x₁）＜f（x₂）

B．f（x₁）＞f（x₂）

C．f（x₁）=f（x₂）

D．不能确定

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）关于直线x=

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对称，且当x＞

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时，f′（x）＞0；当x＜

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时，f′（x）＜0，即可得出函数f（x）在区间上单调性．分类讨论x2＞x1≥

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，与x1＜

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，即可得出．

解答：解：∵定义在R上的函数y=f（x），满足f（1-x）=f（x），∴函数f（x）关于直线x=

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对称．
∵（x-

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）f′（x）＞0，∴当x＞

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时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；当x＜

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时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减．
①若x2＞x1≥

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，∵函数f（x）在区间(

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，+∞)上单调递增，∴f（x₂）＞f（x₁）．
②若x1＜

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，又x₁+x₂＞1，∴x2＞1-x1＞

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，∴f（x₂）＞f（1-x₁）=f（x₁）．
综上可知：f（x₂）＞f（x₁）．
故选A．

点评：熟练掌握函数的轴对称性和利用导数研究函数的单调性是解题的关键．