Question

已知点M，N是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的点，直线OM与直线ON的斜率之积为

b2

a2

（O为坐标原点），P为平面内任意一点．研究发现：
若

OP

=

OM

+

ON

，则点p的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=2；
若

OP

=2

OM

+

ON

，则点p的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=5；
若

OP

=

OM

+2

ON

，则点p的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=5；
若

OP

=3

OM

+

ON

，则点p的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=10；
若

OP

=

OM

+3

ON

，则点p的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=10；
根据上述研究结果，可归纳出：

OP

=m

OM

+n

ON

（m，n∈N^*）则点p的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：仔细观察所给点P的轨迹方程，我们能够发现：2=1²+1²，5=1²+2²，10=1²+3²…，可归纳出：

OP

=m

OM

+n

ON

（m，n∈N^*）时，点p的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=m2+n2．

解答： 解：∵2=1²+1²，5=1²+2²，10=1²+3²…，
∴

OP

=m

OM

+n

ON

（m，n∈N^*）时，
点p的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=m2+n2．
故答案为：

x2

a2

+

y2

b2

=m2+n2．

点评：本题主要考查了归纳推理的灵活运用，解答此题的关键是注意观察所给点P的轨迹方程，从中找出规律并利用它求出所求的轨迹方程．