Question

19．已知△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，∠A=60°，$a=\sqrt{3}$．则c+2b的最大值为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 令c+2b=t，利用余弦定理构建以b为x以t为系数的一元二次方程，利用判别式法求得t的范围，即而求得c+2b的最大值．

解答 解：令c+2b=t，则c=t-2b，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（t-2b）^{2}+{b}^{2}-3}{2（t-2b）•b}$=$\frac{1}{2}$，
整理得7b²-5tb+t²-3=0，要使方程有根，
则△=25t²-28（t²-3）≥0，
解得t≤2$\sqrt{7}$，
当t=2$\sqrt{7}$时，求得方程有一个根大于0，符合．
∴t最大值为2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了余弦定理的运用．关键的一步是构建一元二次方程，运用了转化和化归的思想．