Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且$a=\sqrt{5}$，b=3，sinC=2sinA．
（1）求c的值；
（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理得到c=$\frac{sinC}{sinA}$a，将a的值及sinC=2sinA代入，即可求出c的值；
（2）利用余弦定理表示出cosA，将a，b及求出的c值代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A及cos2A的值，可求三角形ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵a=$\sqrt{5}$，sinC=2sinA，
∴根据正弦定理得：c=$\frac{sinC}{sinA}$a=2a=2$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{5}$，b=3，c=2$\sqrt{5}$，
∴由余弦定理得：cosA=$\frac{9+20-5}{2×3×2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
又A为三角形的内角，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2A=2sinAcosA=$\frac{4}{5}$，cos2A=cos²A-sin²A=$\frac{3}{5}$，
三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}×3×2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=3．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．