Question

16．在下列四个命题中，
①函数$y=tan（{x+\frac{π}{4}}）$的定义域是$\left\{{x\left|{x≠kπ+\frac{π}{4}\;，\;\;k∈Z}\right.}\right\}$；
②已知$sinα=\frac{1}{2}$，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是$\left\{{\frac{π}{6}}\right\}$；
③函数$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）+sin（{2x-\frac{π}{3}}）$的最小正周期是π；
④△ABC中，若cosA＞cosB，则A＜B．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据正切函数的定义域求出y的定义域即可判断①正确；
求出$sinα=\frac{1}{2}$在α∈[0，2π]内的取值集合即可判断②错误；
化函数y为正弦型函数，求出它的最小正周期，判断③正确；
根据△ABC中A、B∈（0，π），结合余弦函数的单调性判断④正确．

解答 解：对于①，令x+$\frac{π}{4}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴函数$y=tan（{x+\frac{π}{4}}）$的定义域是$\left\{{x\left|{x≠kπ+\frac{π}{4}\;，\;\;k∈Z}\right.}\right\}$，①正确；
对于②，已知$sinα=\frac{1}{2}$，且α∈[0，2π]，
则α的取值集合是{$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$}，∴②错误；
对于③，函数$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）+sin（{2x-\frac{π}{3}}）$
=（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=sin2x，它的最小正周期是π，③正确；
对于④，△ABC中，A、B∈（0，π），
根据余弦函数的单调性知，若cosA＞cosB，则A＜B，④正确．
以上真命题是①③④，共3个．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合题．