Question

已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a_n=(n∈N^*),b_n=(n∈N^*).
考察下列结论:
①f(0)=f(1);②f(x)为偶函数;
③数列{a_n}为等比数列;
④数列{b_n}为等差数列.
其中正确的结论共有(　　)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

C

根据所给的四个条件,逐条验证即可.注意②中用特殊值验证,③④用定义判断.
∵f(0)=f(0×0)=0,
f(1)=f(1×1)=2f(1),
∴f(1)=0,①正确;
又f(1)=f((-1)×(-1))=-2f(-1),
∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),
故f(x)不是偶函数,故②错;
∵f(2ⁿ)=f(2·2^n-1)=2f(2^n-1)+2^n-1f(2)=2f(2^n-1)+2ⁿ,
∴=+1,
即b_n=b_n-1+1,
∴{b_n}是等差数列,④正确;
b₁==1,
b_n=1+(n-1)·1=n,
f(2ⁿ)=2ⁿb_n=n·2ⁿ,
a_n==2ⁿ,
故数列{a_n}是等比数列,③正确.故选C.