Question

【题目】已知定义：在数列{an}中，若a ﹣a =p（n≥2，n∈N* ， p为常数），则称数列{an}为等方差数列，下列判断：
①若{an}是“等方差数列”，则数列{an2}是等差数列；
②{（﹣1）n}是“等方差数列”；
③若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N* ， k为常数）不可能还是“等方差数列”；
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数列．
其中正确的结论是 ． （写出所有正确结论的编号）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①{an}是“等方差数列”，∴a ﹣a =p（n≥2，n∈N* ， p为常数），则数列{an2}是等差数列，正确；
②∵an=（﹣1）n ， ∴ =1，则n≥2时，a ﹣a ，=0，∴数列{an}为等方差数列，正确；
③{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N* ， k为常数）可能还是“等方差数列”，取an=2满足条件，因此不正确；
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，设公差为d，∴n≥2时，a ﹣a = =d[2a1+（2n﹣3）d]为常数，必然d=0，
则该数列是常数列，正确．
所以答案是：①②④．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．