Question

10．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则AC₁的长为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$，由此利用向量法能求出AC₁的长．

解答 解：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$²=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$）²
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BC}}^{2}+{\overrightarrow{C{C}_{1}}}^{2}$+2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos60°+2$|\overrightarrow{AB}|$•|$\overrightarrow{C{C}_{1}}$|cos60°+2$|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{C{C}_{1}}|$•cos60°
=1+1+1+$2×1×1×\frac{1}{2}$+$2×1×1×\frac{1}{2}$+$2×1×1×\frac{1}{2}$
=6，
∴AC₁的长为|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．