Question

18．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，f′（x）-f（x）＜0恒成立，则不等式ln|x|f（x）＞0的解集为（　　）

• A． {x|-1＜x＜0或x＜-1}
• B． {x|-1＜x＜0或x＞1}
• C． {x|x＜-1或0＜x＜1}
• D． {x|-1＜x＜0或0＜x＜1}

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，对其求导，结合题意分析可得在（0，+∞）函数g（x）为减函数，且g（1）=$\frac{f（1）}{{e}^{1}}$=0，分析可得当x＞1时，有g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜0，则有f（x）＜0；当0＜x＜1时，有g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞0，则有f（x）＞0；进而结合函数f（x）的奇偶性，可得f（x）在（-∞，0）上的符号情况，由此可得ln|x|f（x）＞0?$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＜0}\\{x＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＞0}\\{0＜x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＞0}\\{x＜-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＜0}\\{-1＜x＜0}\end{array}\right.$，解可得不等式的解集，即可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则其导数且g′（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{f′（x）•{e}^{x}-f（x）•{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又由当x＞0时，f′（x）-f（x）＜0恒成立，
则有g′（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{f′（x）•{e}^{x}-f（x）•{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
即在（0，+∞）函数g（x）为减函数；
又由f（1）=0，则g（1）=$\frac{f（1）}{{e}^{1}}$=0，
则当x＞1时，有g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜0，则有f（x）＜0；
当0＜x＜1时，有g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞0，则有f（x）＞0；
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，
则当x＜-1时，有f（x）＞0；
当-1＜x＜0时，有f（x）＜0；
对于不等式ln|x|f（x）＞0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＜0}\\{x＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＞0}\\{0＜x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＞0}\\{x＜-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＜0}\\{-1＜x＜0}\end{array}\right.$，
解可得x＜-1或0＜x＜1，
即不等式ln|x|f（x）＞0的解集为{x＜-1或0＜x＜1}，
故选：C．

点评 本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性的性质，构造函数g（x）是解答本题的关键．