Question

14．若函数f（x）=2x-$\frac{1}{2x}$+a是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为{x|$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0或x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$}．

Answer 1

分析 根据函数是奇函数求出a，解不等式即可．

解答 解：∵f（x）=2x-$\frac{1}{2x}$+a是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-2x+$\frac{1}{2x}$+a=-（2x-$\frac{1}{2x}$+a）=-2x+$\frac{1}{2x}$-a，
即a=-a，则a=0，
解f（x）=2x-$\frac{1}{2x}$，
由f（x）＞3得2x-$\frac{1}{2x}$＞3，
即2x-$\frac{1}{2x}$-3＞0，
则$\frac{4{x}^{2}-6x-1}{2x}$＞0，
若x＞0，则4x²-6x-1＞0，
即x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$或x＜$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$（舍），
若x＜0，则4x²-6x-1＜0，
即$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$，
此时$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0，
综上不等式的解为$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0或x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$，
即不等式的解集为{x|$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0或x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$}，
故答案为：{x|$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0或x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$}

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式的求解，考查学生的运算能力．