Question

2．已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，a_n≠1，（a_n+1-a_n）•g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）求证：a_n+1=$\frac{3}{4}$a_n+$\frac{1}{4}$；
（2）求{a_n}的通项式；
（3）若b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求{b_n}的最大项和最小项．

Answer 1

分析 （1）通过代入、化简可知4a_n+1-3a_n-1=0，变形即得结论；
（2）通过变形可知数列{a_n-1}是以1为首项、$\frac{3}{4}$为公比的等比数列，进而计算可得结论；
（3）通过计算、配方可知b_n=3[$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$-$\frac{2}{3}$]²-$\frac{4}{3}$，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：依题意，（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，
∴（4a_n+1-3a_n-1）（a_n-1）=0，
又∵a_n≠1，
∴4a_n+1-3a_n-1=0，
即a_n+1=$\frac{3}{4}$a_n+$\frac{1}{4}$；
（2）解：∵a_n+1=$\frac{3}{4}$a_n+$\frac{1}{4}$，
∴a_n+1-1=$\frac{3}{4}$（a_n-1），
又∵a₁-1=2-1=1，
∴数列{a_n-1}是以1为首项、$\frac{3}{4}$为公比的等比数列，
∴a_n-1=$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$，
∴a_n=1+$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$；
（3）解：∵a_n=1+$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$，
∴f（a_n）=$（\frac{3}{4}）^{2n-2}$，g（a_n+1）=4•$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$，
∴b_n=3f（a_n）-g（a_n+1）
=3•$（\frac{3}{4}）^{2n-2}$-4•$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$
=3[$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$-$\frac{2}{3}$]²-$\frac{4}{3}$，
∵$\underset{lim}{n→∞}$$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$b_n=0，
令$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$=$\frac{2}{3}$，解得：n=1+$\frac{lg\frac{2}{3}}{lg\frac{4}{3}}$=$\frac{3lg2-2lg3}{2lg2-lg3}$≈2.4，
∵b₂=-$\frac{21}{16}$，b₃=-$\frac{189}{256}$，
∴{b_n}的最小项为b₃=-$\frac{189}{256}$，无最大项．

点评 本题是一道关于函数与数列的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．