Question

11．已知x，y，z都是正数，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{2xy+yz}$的最小值为$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设a、b＞0，则$\frac{a}{2}$z²+$\frac{1}{2a}$y²≥yz且by²+$\frac{1}{b}$x²≥2xy，两式相加并整理得$\frac{1}{b}$x²+（b+$\frac{1}{2a}$）y²+$\frac{a}{2}$z²≥2xy+yz（1）．
令$\frac{1}{b}$=b+$\frac{1}{2a}$=$\frac{a}{2}$，即b=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，代回（1）式，即$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x²+y²+z²）≥2xy+yz，可得结论．

解答 解：设a、b＞0，则$\frac{a}{2}$z²+$\frac{1}{2a}$y²≥yz且by²+$\frac{1}{b}$x²≥2xy
故两式相加并整理得$\frac{1}{b}$x²+（b+$\frac{1}{2a}$）y²+$\frac{a}{2}$z²≥2xy+yz（1）．
令$\frac{1}{b}$=b+$\frac{1}{2a}$=$\frac{a}{2}$，即b=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，代回（1）式，
即$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x²+y²+z²）≥2xy+yz，
即$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{2xy+yz}$≥$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{2xy+yz}$的最小值为$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查基本不等式在求最值中的运用，考查构造法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．