Question

3．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{x-3y+2≥0}\\{x≥1}\end{array}\right.$．
（1）设z=2x+y，求z的取值范围；
（2）设m=x²+y²+2x，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案；
（2）直接由m=x²+y²+2x的几何意义求得m的取值范围．

解答 解：由约束条件件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{x-3y+2≥0}\\{x≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

A（1，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+2=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$），
（1）化z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过A（1，0）时，z有最小值-2，
当直线y=-2x+z过B（$\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）时，z有最大值$\frac{13}{2}$．
∴z的取值范围是[-2，$\frac{13}{2}$]；
（2）由m=x²+y²+2x=（x+1）²+y²-1，
可知${m}_{min}={2}^{2}-1=3$，${m}_{max}=（\frac{5}{2}+1）^{2}+（\frac{3}{2}-0）^{2}-1=\frac{27}{2}$．
∴m的取值范围是[$3，\frac{27}{2}$]．

点评 本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．