Question

【题目】已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N* ， 且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若a1=4，则d的取值集合为；
（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为 ．

Answer 1

【答案】
（1）{1，2，4}
（2）2m+1﹣1
【解析】解：由题意可得，ap+aq=ak ， 其中p、q、k∈N* ， 由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），
整理得d= ，
1）若a1=4，则d= ，
∵p、q、k∈N* ， 公差d∈N* ，
∴k﹣p﹣q+1∈N* ，
∴d=1，2，4，
故d的取值集合为 {1，2，4}；
2）若a1=2m（m∈N*），则d= ，
∵p、q、k∈N* ， 公差d∈N* ，
∴k﹣p﹣q+1∈N* ，
∴d=1，2，4，…，2m ，
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m= =2m+1﹣1，
所以答案是（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．
【考点精析】利用等比数列的前n项和公式和等差数列的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知前项和公式：；在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．