Question

【题目】对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．

（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）．

（）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．

（）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．

Answer 1

【答案】(1) 集合不是“和谐集”.

(2) 集合是“和谐集”；证明见解析.

(3)证明见解析.

【解析】

（1）根据定义，判断集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”；（2）集合，根据定义验证即可；（3）不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，

将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，

则有③，或者④，由定义得出矛盾即可证明结论.

（）集合不是“和谐集”．

（）集合，

证明：∵，

，

，

，

，

，

，

∴集合是“和谐集”．

（）证明：不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，

将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，

则有③，或者④，

由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，由②③得矛盾，由②④得矛盾，

故当时，集合一定不是“和谐集”．