Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱AA₁⊥面ABC，点D是BC的中点，求证：平面BB₁C₁C丄平面ADC₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：证明C₁C⊥AD，AD⊥BC，利用BC∩C₁C=C，推出AD⊥平面BCC₁B₁，然后证明AD⊥C₁D．利用直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可．

解答： 证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，∴C₁C⊥AD，
又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，
∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁C=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
又DC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥C₁D．
∵侧棱AA₁⊥面ABC，
∴侧棱CC₁⊥面ABC，AD?面ABC，
∴AD⊥C₁C，CC₁∩C₁D=C₁，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵AD?面ABC，
∴平面BB₁C₁C丄平面ADC₁．

点评：本题考查直线与直线垂直，直线与平面垂直以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．