Question

15．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小．
（3）试在线段BC上确定一点P，使得棱锥P-BDF的体积为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于N，连结EN，证明四边形ANEM是平行四边形，得出AM∥EN从而得出AM∥平面BDE；
（2）利用面面垂直的性质证明FA⊥平面ABCD，以A为原点距离空间直角坐标系，求出两平面的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$，则二面角的余弦值等于|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|；
（3）设BP=x，代入棱锥的体积公式求出x得出P的位置．

解答 证明：（1）连结BD交AC于N，连结EN，
∵四边形ACEF是矩形，
∴AN$\stackrel{∥}{=}$EM，
∴四边形ANEM是平行四边形，
∴AM∥EN，
又AM?平面BDE，EN?平面BDE，
∴AM∥平面BDM．
（2）∵四边形ACEF是矩形，∴FA⊥AC，
∵平面ACEF⊥ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴AF⊥平面ABCD．
以A为原点，以AB，AD，AF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则B（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，$\sqrt{2}$，0），F（0，0，1），
∴$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BF}$=（-$\sqrt{2}$，0，1）．
显然平面ADF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
设平面BDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{3}$．
∵二面角A-DF-B为锐角，∴二面角A-DF-B为$\frac{π}{3}$．
（3）设BP=x，则V_P-BDF=V_F-BPD=$\frac{1}{3}{S}_{△BPD}•AF$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•x•\sqrt{2}•1$=$\frac{1}{6}$．
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴当P为BC的中点时，棱锥P-BDF的体积为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，二面角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．